Pauli-Verblüffung

Von: Philip Moriarty
Übersetzung: Simon Jaekel

Die Behauptung, dass nichts etwas anderes wirklich berührt, geistert seit einigen Jahren durch die Weiten des Internets. Ich denke, auch wenn ich mir darin nicht sicher bin, dass sie ihren Ursprung in einer Erklärung von Michio Kaku haben. Diese Art von Erklärung wurde später von einem Video des sehr erfolgreichen YouTube Kanals ‚VSauce‘ unter dem Titel ‚You Can’t Touch Anything‘ aufgegriffen und hat inzwischen fast 3,4 Millionen Zugriffe aufzuweisen.

I kann nachvollziehen, wie schwierig es sein kann komplizierte Physik für ein allgemeines Publikum zugänglich zu machen (Als Beispiel sei einer meiner Artikel in der Physics World vom Mai 2014 genannt). Und ich verstehe vollkommen, dass wir alle ab und an mal danebengreifen – ich zuallererst. Aber Kaku ist Wiederholungstäter wenn es darum geht Erklärungen so weit von Anspruch zu befreien, dass sie ihre Gültigkeit verlieren, um den „Wow! Quanten! Physik! Faktor auszunutzen. Diese übermäßige Vereinfachung ist letztlich die Wurzel des ‚you can’t touch anything‘ Mems.

Warum regt mich nun dieses spezielle Mem so auf? (Es ist ja nicht so, dass im Internet nichts Schwerwiegenderes rumschwirren würde.) Nun, hauptsächlich weil die Geschichte mit zu Nahe geht. Mein Forschungsgebiet ist bekannt als kontaktlose Rasterkraftmikroskopie (englisch: non-contact atomic force microscopy; kurz: nc-AFM) und es gibt einen guten Grund warum zwischen kontaktlosem und kontakt AFM unterschieden wird. Ich habe Brady Haran in den letzten Jahren schon des öfteren mit den Unzulänglichkeiten dieses Mems , wie ich sie sehe, traktiert. Und endlich hat dies zu einem Video auf dem Sixty Symbols YouTube-Kanal geführt, in denen wir zwei debattieren ob sich Atome berühren.

Der Leser möge mir diese schamlose Selbstbeweihräucherung erlauben, denn von den Videos, die ich mit Brady gemacht habe, bin ich mit diesem besonders zufrieden. Es zeigt Wissenschaft als Debatte bei der ein Zusammenspiel aus (experimentellen) Beweisen, Modellen und Analogien zusammenkommen muss um die jeweilige Sichtweise zu unterfüttern. Und nicht als etwas, dass Experten fest zusammenschüren und dann als endgültige Weisheit an die Massen weiterreichen. Genau so sollte Wissenschaft funktionieren und auch wahrgenommen werden. (Hier das obligatorische Feynman-Zitat: „Wissenschaft ist der Glaube in die Ignoranz von Experten“ – Mehr hiervon im Anschluss)

Der Grund aus dem ich diesen Post schreibe, ist nicht die Debatte mit Brady (oder sogar die folgenden Kommentare) noch einmal durchzukauen. Stattdessen geht es um eine große aber beabsichtigte Lücke in dem Video: Was ist die Auswirkung des Pauli-Prinzips auf zwei Atome, die (mit) einander interagieren/berühren/binden/verbinden? Dies ist ein absolut faszinierendes Thema und war nicht nur Subjekt einer ausführlichen, jahrzehntelangen Debatte, sondern ermöglicht auch die neuesten Entwicklungen in submolekular aufgelöster AFM.

Über atomare Auflösung hinaus

Zur gleichen Zeit wie der Upload des Sixty Symbols Videos, kam wenn auch zufällig ein Buchkapitel, an dem Kollegen und ich gearbeitet hatten auf den arXiv-Server für kondensierte Materie: Pauli’s Principle in Probe Microscopy (Paulis Prinzip in Sondenmikroskopien). Das Pauli Prinzip (PP) spielt eine grundlegende Rolle in State-of-the-Art Rastersondenmikroskopien, in denen Bilder, wie unten gezeigt immer verbreiteter werden. Derartige Bilder werden aufgenommen, indem die Verschiebung der Vibrationsfrequenz einer winzigen Stimmgabel, an der eine atomar-scharfe Spitze befestigt ist, gemessen wird. Wenn diese Sonde im Nanometer und sub-Nanometer-Bereich bewegt wird, verändert sich der Gradient der Kraft zwischen Spitzenende und Molekül, was die Resonanzfrequenz der Stimmgabel verschiebt. Das Ausmaß dieser Frequenzänderung kann graphisch dargestellt und mathematisch auf die kraft zurückgerechnet werden. Oder sogar zu Musik gemacht werden.

Das obige Bild stammt aus einer neuen Arbeit unserer Gruppe in Nottingham. Aber hier sollten natürlich vor allem Leo Gross und seine Mitarbeiter von IBM-Zürich erwähnt werden, die diese ultrahoch aufgelöste Technik ins Leben gerufen habe. Leo und Kollegen konnten als erste demonstrieren, dass es möglich ist AFM Bilder von Molekülen aufzunehmen, bei denen die vollständige chemische Struktur sichtbar war. Diese Bilder zeigen eine bemerkenswerte, fast schon unheimliche Übereinstimmung mit den Strichmodellen, die jeder Wissenschaftler aus seinen Lehrbüchern kennt. Zum Vergleich ist im Bild oben das experimentelle Bild des NTCDI Moleküls (rechts) mit dem Strichdiagramm (links), in dem Kohlenstoff, Stickstoff und Sauerstoff-Atome grau, blau beziehungsweise rot dargestellt sind, nebeneinander gestellt. Diese überaus detaillierten Bilder der molekularen Struktur werden erzeugt indem die Abstoßung der Elektronen durch die aus dem Pauli-Prinzip resultierende Kraft bei kleinen Abständen zwischen Spitze und Molekül ausgenutzt wird.

Ich erklärte dies im letzten Jahr einer Klasse aus Erstsemesterstudenten und legte ein besonderes Merkmal darauf, dass die Abstoßung bei kleinen Distanzen – und damit auch die Abstoßung zwischen Ihnen und ihren Sitzen – grundsätzlich anders ist als die elektrostatische Abstoßung zwischen gleichen Ladungen ist. Ich beendete die Vorlesung mit der flapsigen Bemerkung, dass der Effekt des Pauli-Prinzips keine kraft im herkömmlichen Sinne sei und das das im nächsten Jahr im Kurs Quantenstatisktik deutlich werden würde.

Schon als ich wieder im Büro war, kamen zwei emails von Studenten aus der Vorlesung in meinem Postfach an die fragten: „Wenn es keine herkömmliche kraft ist. Was ist es denn dann?“.

Das sollte mich lehren vor Erstsemestern schnell mal etwas daherzusagen. Es ist eine großartige Frage. Woher kommt die abstoßende kraft des Pauli-Prinzips? Warum nur lassen sich Elektronen nicht in den gleichen Quantenzustand ‚zwängen‘.

Die Quantenidentitätskrise

Letztendlich ist das Pauli-Prinzip eine Folge der Ununterscheidbarkeit von Elektronen. (Eigentlich aller Fermionen, aber bleiben wir bei den Elektronen, da dies für Kraftmikroskopie am relevantesten ist.) Ein frustrierender Teil der Diskussion von Quantenstatistik in verschiedensten Lehrbüchern ist, dass die Begriffe ‚ununterscheidbar‘ und ‚identisch‘ viel zu oft synonym verwendet werden. Elektronen sind auf jeden Fall identisch in dem Sinn, dass alle ihre grundlegenden Eigenschaften wie Ruhemasse und Ladung gleich sind. Aber sind sie komplett ununterscheidbar.

Fleischhauer hatte hierzu vor ein paar Jahren in einem faszinierenden Kommentar folgendes zu sagen:
„In der Quantenwelt, sind Teilchen der gleichen Art ununterscheidbar: Die Wellenfunktion, die sie Beschreibt ist eine Superposition jedes einzelnen Teilchens in allen erlaubten Zuständen. Genaugenommen folgt daraus, dass wir zum Beispiel gar nicht darüber sprechen könne, was ein Elektron auf der Erde macht ohne gleichzeitig auf alle Elektronen auf dem Mond einzugehen.“

Ja, im Prinzip sollte man sogar die gesamte Vielteilchen-Wellenfunktion des Universums berücksichtigen. Aber ich bin altgedienter, unverbesserlicher, waschechter Experimentalist. Ich will nachprüfbare Beweise dieses universellen Zusammenspiels. Und wisst ihr was? Egal wie scharf man schaut, man wird keinen Beweis finden, dass ein Elektron auf dem Mond einen Einfluss auf terrestrische Kraftmikroskopie hat (oder auf chemische Reaktionen, Übergänge eines Atoms, etc.), die Elektronen auf der Erde involviert.

Ich möchte hier verdeutlichen, dass im Prinzip, all diese Elektronen tatsächlich ununterscheidbar sind und es immer eine endliche Überschneidung der Wellenfunktionen gibt, da die unendlichen Potentialwälle aus den Grundbeispielen von Quantenphysikgrundvorlesungen Fiktion sind. In diesem Sinn, gibt es tatsächlich eine Art Kopplung zwischen Elektronen auf der Erde auf dem Mond (oder auf Alpha Centauri) aufgrund ihrer ‚Ununterscheidbarkeit‘. Aber das Ausmaß der Kopplung der Wellenfunktionen und die resultierenden Auswirkungen auf die Energieniveaus ist derart winzig und vollständig vernachlässigbar, dass – bitte entschuldigen sie das Understatement –die Elektronen in jedem praktischen Sinn absolut unterscheidbar sind.

(So manchem mag dieser Punkt bekannt vorkommen. Dies mag eine Auswirkung der hitzigen Debatte sein, die Brian Cox mit seiner Diskussion des Pauli-Prinzips in einem Programm der BBC vor ein paar Jahren angestoßen hatte. Brian hatte hier online viel Kritik einstecken müssen. So manche für seine Ausdrucksweise und die Tiradenartigkeit des Vortrags. Eine der besten Analysen des Vorfalles stammt von Jon Buttersworth im Guardian. Auch meine Kollegen in Nottingham haben die Kontroverse diskutiert. Und Telescoper ging so weit zu fragen, ob Brian die Erklärung vercoxt habe.)

Nur wenn die Überschneidung der Wellenfunktion eine relevantes Ausmaß annimmt, zum Beispiel zwischen dem Atom am Ende einer AFM Spitze, wenn sie an ein Molekül angenähert wird, wird das Pauli-Prinzip spürbar, insofern dass es einen messbaren Effekt hat. Wenn sie wissen wollen wie genau Ununterscheidbarkeit und das Pauli-Prinzip derartig eng verzahnt sind und wie der Spin von Elektronen hier eine Rolle spielt, muss ich auf Sektion 1.3 im erwähnten Buchkapitel und die Referenzen verweisen. Sind sie willens erstmal mein Wort zu akzeptieren, lesen sie weiter.

Fourier und Kraft

Also ans Werk und lasst uns klären woher die Pauli-‚Kraft‘ kommt. Das Pauli-Prinzip besagt, dass es nicht möglich ist zwei Elektronen mit den gleichen vier Quantenzahlen zu haben. Unter anderem folgt daraus, dass wir nicht zwei Elektronen in den gleichen Quantenzustand zwingen können. Aber wie resultiert daraus eine Kraft, die über die ‚normale‘ elektrostatische Abstoßung hinausgeht? Lasst uns das Problem auf das Grundsätzliche reduzieren und ein einfaches Gedankenexperiment durchführen.

Man nehme zwei Elektronen mit dem gleichen festen Spin und platziere sie in einer großen Entfernung voneinander. Nun bewegen wir diese Elektronen aufeinander zu, sodass ihre Wellenfunktionen sich überschneiden. So wie die Elektronen sich einander nähern werden ihre Wellenfunktionen auf eine Art verformt, die diese Überschneidung minimiert (Das ist das Pauli-Prinzip in Aktion). In der unteren Zeichnung (adaptiert in einem Original von Julian Su), ist dies schematisch dargestellt.

Auf der linken Seite sind die Elektronenwellenfunktionen nicht durch das Pauli-Prinzip beschränkt, während es auf der rechten Seite berücksichtigt wird. Der grundsätzliche Punkt in dieser Sache ist: Das Pauli-Prinzip vergrößert die Krümmung der Wellenfunktion. Da die kinetische Energie eines Elektrons aber direkt abhängig von dieser Krümmung ist, bewirkt sie eine höhere Energie. Oder im Umkehrschluss – und diese Beschreibung bevorzuge ich persönlich, da sie ein wunderbares Beispiel für die Eleganz der Fourier Transformation ist – erfordert eine höhere Krümmung der Wellenfunktion mehr Beitrag von höheren Frequenzen im räumlichen Teil der Fourier Verteilung (letztlich nur ein ausgefallener Ausdruck für mehr höhere Geschwindigkeiten).Genau diese Veränderung in der Impulsverteilung erzeugt die Pauli-Repulsions-‚Kraft‘.

Auch wenn dies die Grundlagen hinter dem Pauli-Prinzip ins Licht bringt (und sicherlich genug wichtige Einsicht in Kraftmikroskopie-Experimente liefert), so beschreibt es noch die Grundlegende Physik dahinter nur sehr unzureichend. Was Pauli wohl zu seinem berühmten „… es ist noch nicht einmal falsch“ animieren würde. Er selbst sagte bei der Entgegennahme seines Nobelpreises: „Ich war weder in der Lage einen logischen Grund für das Ausschlussprinzip zu geben noch es von generellen Annahmen abzuleiten“. Fast zwei Jahrzehnte später kommentierte dies Feynman folgendermaßen:
„Es erscheint einer der wenigen Orte in der Physik zu sein, in dem eine Regel einfach auszudrücken ist, für die niemand eine einfache Erklärung hat. Die Erklärung steckt in der Tiefe der relativistischen Quantenmechanik. Dies bedeutet wahrscheinlich, dass wir kein vollständiges Verständnis der grundsätzlichen Gesetzmäßigkeiten haben.“

Wie Feynman, bleibe auch ich in gewissem Maß Verblüfft von Paulis Prinzip.

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